Подільність натуральних чисел

Щоб прикрасити святкову залу, придбали 45 гвоздик. Із них було зроблено однакові за кількістю квітів букети.

 

Розмірковуючи про можливе число букетів, отримаємо 9 букетів по 5 гвоздик у кожному, оскільки 45:9=5.

Якщо одне натуральне число ділиться націло на інше натуральне число, тоді перше число називають кратним другого числа, а друге число —дільником першого числа.

Отже, число 45 є кратним числу 9, а число 9 є дільником числа 45.
Розмірковуючи далі, 8 букетів не вийде, оскільки
45 на 8 націло не ділиться, отже, 8 не є дільником числа 45 або число 45 не є кратним числу 8.

Дільником натурального числа a називають число, на яке a ділиться без остачі.

Визначення дільника можна сформулювати так:

Нехай m, n — натуральні числа, тоді m — дільник числа n, якщо існує таке натуральне число k, що n=m⋅k.

Наприклад, 5 — дільник числа 120, оскільки 120=5⋅24.

 

Число 15 має чотири дільники: 1,3,5,15, бо на кожне з них ділиться без остачі. 

 

Число 1 є дільником будь-якого натурального числа , оскільки будь-яке число ділиться на 1 без остачі.

Найменшим дільником будь-якого натурального числа  є число  1 , а найбільшим — саме число a.    

 

Кратним натуральному числу a називають число, яке ділиться без остачі на a.

Будь-яке натуральне число має нескінченно багато кратних.

 

Найменшим із кратних натурального числа є само це число , а найбільшого кратного не існує.

 

Перші п'ять чисел, кратних числу 9, такі:  9,18,27,36,45.

Для будь-якого числа а кожне з чисел виду а·1; а·2; а·3; . . .; а · n  (n-натуральне число) є кратним числа а .

Число 21  не є  кратним числу 5, оскільки не ділиться на 5 без остачі. 21=5⋅4(остача1)

 Відомо, що будь-яке натуральне число 

a можна записати у вигляді суми деякого числа десятків та одноцифрового числа.

 

Наприклад:

37=3⋅10+7124=12⋅10+46782=678⋅10+2

 

У загальному вигляді можна записати так:

a=m⋅10+n, де n — це остання цифра в запису числа a.

Перший доданок, тобто вираз m⋅10, ділиться і на 2, і на 5,  і на 10, тобто множник 10 у цьому добутку ділиться на кожне з названих чисел.

 

Тому подільність числа a на 2, на 5, на 10 залежить від останньої цифри числа a, тобто від цифри n.

Якщо остання цифра числа парна, тоді число ділиться на 2.

Приклад:

Числа 910;12;164;376;1028 діляться на 2, оскільки остання цифра парна, тобто це цифра 0;2;4;6;8, а  числа 5;13;167;261 — не діляться на2.

Якщо остання цифра числа 5 або 0, тоді воно ділиться на 5.

Приклад:

Числа 35;490;13405 діляться на 5, оскільки остання цифра чисел — 5 або 0 , а числа 34;206;7551 —  не діляться на 5.

Якщо число закінчується цифрою 0, тоді воно ділиться на 10.

Приклад:

Числа 40;7900;902030 діляться на 10, оскільки остання цифра у цих чисел — 0 , а числа 108;65006;345234 — не діляться на 10.

Сформулюємо ознаку подільності на 4.

Число, що складається більше ніж із двох цифр, ділиться на 4 тоді й тільки тоді, коли ділиться на 4 число, утворене двома останніми цифрами заданого числа.

Приклад:

Число 47396 ділиться на 4, останні дві цифри даного числа утворюють число 96, яке ділиться на 4, тобто, записавши дане число у вигляді 47396=473⋅100+96, можна зробити висновок, що на 4 ділиться кожен доданок, а отже, і сума, тобто дане число.

Числа  106;65034;3452353 - не діляться на 4.

Аналогічно можна сформулювати ознаку подільності на 25:   

Число, що складається більше ніж із двох цифр, ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 25 число, утворене двома останніми цифрами заданого числа.

Приклад:

Число 47375 ділиться на 25, останні дві цифри даного числа утворюють число 75, яке ділиться на 25.

Приклад:

Числа  1206;5034;345235354 - не діляться на 25.

 

Ознака подільності на 6: Число ділиться на 6 тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3 (тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3).

Число 564 ділиться на 6, так як воно парне і сума його цифр (5+6+4=15) ділиться на3.

Число 5643 не ділиться на 6, так як воно непарне.

 

Ознака подільності на 7: Число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли результат віднімання подвоєної останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7.

Число 364 ділиться на 7, так як 36−(2⋅4)=28 ділиться на 7.

Число 456 не ділиться на 7 ,так як 45−(2⋅6)=33 не ділиться на 7.

 

Ознака подільності на 8: Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число, утворене трьома його останніми цифрами, ділиться на 8.

Число 23816 ділиться на 8, так як 816 ділиться на 8.

Число 34257 не ділиться на 8, так як 257 не ділиться на 8.

 

Ознака подільності на 11: На 11 діляться ті числа , у яких різниця між сумою цифр, які займають парні місця, ділиться на 11.

Число 103785 ділиться на 11,так як сума цифр, що займають непарні місця, 1+3+8=12 дорівнює сумі цифр, що займають парні місця  0+7+5=12. 12-12=0. 0 ділиться на 11.

Число 461025 не ділиться на 11, так як  4+1+2=7  і  6+0+5=11, а їх різниця 11-7=4 на 11 не ділиться.

 

Історична довідка.

Ознаки подільності чисел на 2 і на 5 були відомі ще в давні часи. Так, наприклад, ознаку подільності на 2 знали древні єгиптяни за 2 тисячі років до Христового народження.

Цим питанням займалися такі видатні вчені як, Ейлер, Ферма, Б. Паскаль.

Натуральні числа, що мають тільки два дільники — одиницю і само себе , називають простими.

Приклад:

Числа 2;3;5;7;11 — прості, оскільки діляться тільки на 1 і самі на себе, тобто мають два дільники.

Натуральні числа, що мають більше двох дільників, називають складеними.

Приклад:

Числа 4;6;8;10 — складені, оскільки діляться не тільки на 1 і самі на себе, а ще, наприклад, на 2, тобто мають більше двох дільників.

Число 1 не належить ні до простих, ні до складених чисел.

Число 48 — складене, оскільки, крім 1 і 48, воно ділиться, наприклад, ще на 2.
Це число можна подати у вигляді добутку простих чисел.

При розкладанні числа на прості множники використовують ознаки подільності та застосовують запис стовпчиком, при якому дільник розташовують праворуч від вертикальної риски, а частку записують під діленим.

 

48|224|212|26|23|31

 

Знаючи, що добуток однакових множників можна записати у вигляді степеня, отримаємо:

48=2⋅2⋅2⋅2⋅3=24⋅3

Подання числа у вигляді добутку простих чисел називають розкладанням числа на прості множники.

375|3125|525|55|51тобто,375=3⋅5⋅5⋅5.

 

Основна теорема арифметики:

Будь-яке натуральне число (крім 1) або є простим, або його можна розкласти на прості множники, причому єдиним способом.

У ході виконання різних завдань зручно користуватися таблицею простих чисел. Знаходження дільників для великих чисел — справа нелегка. Тому для спрощення роботи складена таблиця простих чисел.

 

 

Історична довідка.

В таблиці найбільше просте число 997. Проте це не саме  найбільше просте число. Давньогрецький математик Евклід довів приблизно 2300 років тому, що найбільшого простого числа не існує.

Давньогрецький вчений Ератосфен  (276-194 ст. до н.е.), запропонував свій простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел. Цей засіб має назву "решето Ератосфена".